如何獲得色散圖 Dispersion Diagram - 區(qū)分波數(shù)k與相位常數(shù)beta

相信接觸過(guò)Dispersion Diagram色散圖的朋友一開(kāi)始都會(huì)有同樣的疑問(wèn)，色散橫坐標(biāo)到底是什么？

上網(wǎng)一搜Dispersion Diagram，能見(jiàn)到wave number, wave vector, propagation constant, phase constant, phase, phase advance, phase shift per cell, β, β(rad/m), β*d, βp, βL/2π,  k，kz，還有-π~π，0-180-180-0, 0-π-sqr(2)π-0, Γ-X-M-Γ,  Γ-K-M-Γ  等等等等，或者CST本征模求解器的結(jié)果：0-1-2-3或frequency。

其實(shí)要搞清楚這些表達(dá)式的區(qū)別很容易，在我看來(lái)，他們。。。都一樣。首先分清楚兩個(gè)量，波數(shù)k和相位常數(shù)beta，直接上我的總結(jié)： 

色散圖：色散工程中是指k或beta與頻率的曲線；根據(jù)表中的變式，這條曲線的系數(shù)就是相速度Vp決定，還可以通過(guò)曲線的斜率判斷群速度Vg，非常方便。

所以，色散曲線的橫坐標(biāo)就是k或beta，下面我們研究一下，為什么橫坐標(biāo)會(huì)有這么多的表達(dá)方法：

1.    Beta相位常數(shù)

Beta是指單方向傳播電磁波，單位距離的角相位，我們更關(guān)心以該單元為周期結(jié)構(gòu)時(shí)，傳播的特性：比如相速度Vp。

之前寫(xiě)過(guò)兩個(gè)傳輸性質(zhì)的單元結(jié)構(gòu)，傳輸線單元和行波管單元：

仿真實(shí)例019：行波管TWT仿真（上）慢波結(jié)構(gòu)的冷設(shè)計(jì)

仿真實(shí)例050：微帶傳輸線 - 本征模 - Beta相位常數(shù)，色散圖, 相速度, Pierce耦合阻抗

比如其中傳輸線單元原始結(jié)果和調(diào)整后的結(jié)果：

傳輸線的色散線是直的，斜率為正，所以群速度相速度同方向，為右手材料；若為左手材料，比如之前寫(xiě)的SRR，模式曲線可以向下傾斜（扯遠(yuǎn)了, 以后再說(shuō)）。

傳輸線單元和行波管單元兩個(gè)案例都是只有在傳播方向上是周期邊界而已，所以?huà)呙杞嵌?-180度，具體如何將CST直接的propagation constant beta/m vs frequency的結(jié)果轉(zhuǎn)化成 

ω vs β 的方法也在文章中。

beta作為坐標(biāo)軸的幾種表示方式：

• Beta本身單位是rad/m, 這時(shí)橫坐標(biāo)數(shù)值不限。

其他表示方式: k, Wavevector (10^4 m^-1)， Wave number(β), Wave number(um), β=2pi/lamda (cm-1) 等等。

• Beta*d就是一個(gè)單元長(zhǎng)度下的相位，單位是rad；這時(shí)橫坐標(biāo)就可以是負(fù)π到π。

其他表示方式: β*d, βd(rad/m),  β*p, βp, β*period (degrees), kL, ka, kd 等等。

• Beta*d/π 就是一個(gè)單元的一個(gè)π內(nèi)的相位數(shù)，可以叫歸一化的beta，無(wú)單位；這時(shí)橫坐標(biāo)就可以是-1到1。

其他表示方式:   β(π/d),  phase/π,  k(π/a)， KL/ π等等。

2.    k波數(shù)

k是指平面360度周期方向，單位距離的角相位，我們更關(guān)心以該單元為周期表面時(shí)，該表面橫向的特性，比如就是模式間的禁帶。

之前寫(xiě)過(guò)兩個(gè)平面性質(zhì)的單元結(jié)構(gòu)，光子晶體單元和蘑菇形單元：

仿真實(shí)例015：超材料光子晶體和禁帶分析實(shí)例

仿真實(shí)例051：超表面---經(jīng)典蘑菇型結(jié)構(gòu)的AMC特性與EBG特性

比如其中蘑菇形單元原始結(jié)果和調(diào)整后的結(jié)果：

光子晶體單元和蘑菇形單元兩個(gè)案例都是看兩個(gè)橫向的模式，所以?huà)呙杞嵌纫╔Y平面一周，這就是布里淵區(qū)的作用，通過(guò)掃描

(phaseX= 0~180, phaseY=0)

(phaseX=180, phaseY=0~180)

(phaseX=180~0, phaseY=180~0)

三個(gè)區(qū)間就可以表征360度一圈每個(gè)角度。這三個(gè)區(qū)間等于CST中的0-1-2-3。

其實(shí)細(xì)心的朋友應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)區(qū)間的第一個(gè)區(qū)間，就等于X方向上的beta色散。 

小結(jié)：

1.    色散圖首先搞清楚是掃描一個(gè)方向還是兩個(gè)方向，是k和beta。

2.    可在CST中手動(dòng)加空氣線（光速線）作為色散圖標(biāo)準(zhǔn)尺。

3.    可見(jiàn)很多時(shí)候k和beta混著用，所以只要自己知道自己在干什么就可以了。

4.   這里為了簡(jiǎn)單，本文中用的都是普通的右手材料，左手材料的色散以后有機(jī)會(huì)再寫(xiě)。懂了色散圖，左手材料就很容易學(xué)習(xí)了。

5.   本文中的布里淵區(qū) Γ-X-M-Γ是假設(shè)X和Y方向90度角的周期排列。60度角以后再寫(xiě)。